We hebben reeds nuttig gebruik kunnen maken van Grinvin in de klas, niet enkel in lessen Grafentheorie, maar ook in algemene wiskundelessen voor jongere leerlingen. We gebruiken Grinvin om leerlingen een eerste ervaring mee te geven van hoe een correct wiskundige bewijs wordt opgebouwd en hoe een wiskundige bewijzen bedenkt en construeert voor nieuwe problemen.

Dit doen we door het volgende 'spel' te spelen:

  • De leerkracht kiest vooraf een aantal (eenvoudige) invarianten (bv. aantal toppen, aantal bogen, minimale graad, ...).
  • De leerkracht kiest ook een kleine graaf (bv. een driehoek) die ingegeven wordt in Grinvin om het hele proces in gang te zetten.
  • Grinvin wordt gevraagd om de waarden van de geselecteerde invarianten te berekenen voor de gegeven graaf en om een vermoeden te genereren over deze invarianten, bv.

Het aantal bogen van een graaf is altijd kleiner dan de minimale graad vermenigvuldigd met het aantal toppen.

Merk op dat een vermoeden dat door Grinvin gegenereerd wordt altijd waar zal zijn voor de grafen die het programma onderzocht heeft om dit vermoeden op te stellen. Inderdaad, een driehoek heeft 3 bogen, en 3 is inderdaad kleiner dan 2 (de minimale graad van een top in een driehoek) vermenigvuldigd met 3 (het aantal toppen).

Dit is natuurlijk slechts een vermoeden en het is niet noodzakelijk waar voor alle grafen. De eerste opdracht voor de leerlingen is dan ook om een tegenvoorbeeld te vinden voor dit vermoeden - wat in dit geval niet zo moeilijk is - of nog beter, het kleinst mogelijke tegenvoorbeeld.

Met 'kleinste' bedoelen we: met een minimaal aantal toppen, en in het geval van gelijkheid, ook met een minimaal aantal bogen. Het is echter niet zo dat Grinvin dit afdwingt. De regels van het spel worden vastgelegd door de leerkracht, en het kan interessant zijn om deze regels af en toe aan te passen. Een andere regel die we regelmatig gebruiken (en die opnieuw niet opgelegd wordt door Grinvin) is om te eisen dat alle grafen samenhangend zijn.

Met deze veronderstellingen is het kleinste (samenhangende) tegenvoorbeeld een graaf met vier toppen en vier bogen en minimale graad één (een driehoek met een bijkomende boog aan één van de toppen). Het is echter niet voldoende dat de leerlingen dit tegenvoorbeeld vinden, ze moeten ook bewijzen dat dit het kleinst mogelijke tegenvoorbeeld is.

Het 'spel' gaat verder als volgt:

  • We voegen het nieuwe tegenvoorbeeld toe aan de lijst van grafen die Grinvin moet beschouwen.
  • We vragen Grinvin om een nieuw vermoeden te genereren op basis van de nieuwe informatie die we ingegeven hebben.
  • We proberen opnieuw een tegenvoorbeeld te vinden voor dit nieuwe vermoeden en voegen dit (t.t.z., het kleinste van de tegenvoorbeelden) toe in Grinvin, zodat Grinvin een beter vermoeden kan genereren, en dit proces herhaalt zich.

Op een bepaald moment zullen de leerlingen niet langer in staat zijn een tegenvoorbeeld te vinden, wat suggereert dat het vermoeden van Grinvin waar zou kunnen zijn, dus een stelling. Op dit punt wordt het de opdracht van de leerlingen om dit vermoeden ook te gaan bewijzen. Als ze daarin slagen, is het spel ten einde.


Gebruikt Poole, jQuery en Bootstrap · Grinvin © Universiteit Gent, België